REMEDIAL PAS

 NAMA: ALYSSA MAHARANI (6)

KELAS : XI IPS 2

6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 5^2x + 3x-1 habis dibagi 9 untuk setiap X anggota bilangan asli !

Penyelesaian:

* n = 1 = 5^(2.1) + 3.1-1=27

= 5^2 + 3-1=27  (benar)

* n = k = 5^(2k )+ 3k-1=9m,m € n

        * n = k+1 = 5^2(k+1) +3 (k+1)-1

= 5^(2k ) 5^2+3k+3-1 

= 25 .5^2k+3k-1+3 

= 24 .5^2k+5^2k+3k-1+3

= 5^2k+3k-1+3+24 .5^2k

= 9m+3+24 .5^2k

Akan terbukti benar jika 3+24 .  5^2k  habis dibagi 9

 

PAS GANJIL

1. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan jadi nyaman

2. 

 

3.

4. 

5. 

6. 

7. Penjelasan dengan langkah-langkah:

n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8( benar)

8.

9. diket :

5kg gula + 30kg beras = 410.000

2kg gula + 60kg beras = 740.000

Dit : 2kg gula + 5kg beras ?

Jwb :

gula = x

beras = y

5x + 30y = 410.000 |*2

2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000

2x + 60y = 740.000 

_______-

8x = 80.000

x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan

 2x + 60y = 740.000

2(10.000) + 60y = 740.000

20.000 + 60y = 740.000

60y = 720.000

y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000

maka 2kg gula dan 5kg beras

= 2(10.000) + 5(12.000)

= 20.000 + 60.000

= Rp 80.000

10. tentukan daerah bersih dari pertidaksamaan linear berikut 5x + 3y ≤ 15

jawaban :

5x + 3y ≤ 15            uji 0

x = 0  | x = 0            5(0) + 3(0) ≤ 15

y = 5  | y = 3                            0 ≤ 15 (benar)

11.  2x - 5y > 20

Cara penyelesaian :

a. Mencari x dan y

x 0 10

y -4 0

b. Menentukan dan letak daerah kotor

2(0) - 5(0) > 20

0 > 20 (salah)

c. Membuat garis koordinat

12.

5x + 6y ≥ 30 (0,5) (6,0) *karena a positif dan tanda ≥ maka daerahnya berada di kanan garis

2x + y  ≤ 0 (0,0) (0,0) *karena a negatif dan tanda ≤ maka daerahnya berada di kanan garis 

Y ≥ 2 *daerah berada pada rentang y ≥ 2, y € r

Maka daerah penyelesaian dari model mtk tsb berada di daerah III

13. Daerah yang diarsir pada gambar adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Penyelesaian Soal :

LANGKAH PERTAMA (I)

Buatlah sistem pertidaksamaan pada setiap garis dengan menggunakan cara sebagai berikut :

Persamaan garis I melalui titik (0,6) dan (10,0) sehingga :

ax + by = ab

6x + 10y = 6.10

6x + 10y = 60     .... (÷2)

3x + 5y = 30

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke bawah atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0)  pernyataan dikatakan benar :

3x + 5y = 30

3.0 + 5.0 = 30

0 + 0 = 30

0 ≤ 30  (Benar)

Pertidaksamaannya : 3x + 5y ≤ 30

Persamaan garis II melalui titik (0,-4) dan (2,0) sehingga :

ax + by = ab

-4x + 2y = (-4).2

-4x + 2y = -8     .... (÷ 2)

-2x + y = -4

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke sisi kiri atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0)  pernyataan dikatakan benar :

-2x + y = -4

(-2).0 + 0 = -4

0 + 0 = -4

0 ≥ -4  (Benar)

Pertidaksamaannya :

-2x + y ≥ -4    .... (× -1)

2x - y ≤ 4

Kemudian pada arsiran juga terdapat garis x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Sehingga pertidaksamaannya adalah :

3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

14. Nilai Maksimum 3x + 2y ?

x + y > 5

sumbu x ; y = 0 ( 5, 0)

sumbu y ; x = 0 ( 0, 5)

maka Nilai Maksimumnya adalah

3x + 2y

( 5, 0) = 3(5) + 2(0) = 15

(0, 5) = 3(0) + 2(5) = 10

Nilai maksimum nya adalah 15

15.Diketahui=

X = banyaknya sedan

Y = banyaknya truk

Luas Parkiran:

sedan= 15

Truk = 15

Kapasitas 420

Kuantitas:

sedan= 1

Truk = 1

Kapasitas 60

Jawab:

•Persamaan garis 1 : 5x + 15y = 4200

Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh

5x + 15y = 4200 disederhanakan menjadi

5x + 15y ≤ 4200

•Persamaan garis 2 : x + y = 60

Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh

x + y = 60 disederhanakan menjadi

x + y ≤ 60

•Kendala non negative diberikan oleh

X ≥ 0, y ≥ 0

•Jadi model matematika nya

5x + 15y ≤ 4200; 4x + y  ≤ 60 ; x  ≥ 0, y  ≥ 0

Jawaban: 5x + 15y ≤ 4200; 4x + y  ≤ 60 ; x  ≥ 0, y  ≥ 0

16. diket :

- Model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.

- Model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.

- Persediaan kain polos 20 m

- persediaan kain bergaris 20 m

- Harga jual model I Rp.150.000,00

- Harga jual model II Rp.100.000,00

Dit : Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh  = ...

Jwb : 

(1) Kita Buat Tabel Untuk memudahkan:

Model   ||    Polos  ||  Garis  ||  Harga

   I         ||       1       ||     3      ||  150.000

  II         ||       2      ||      1      ||  100.000

Stok      ||       20    ||      20   ||   maksimum

(2) Kita buat kalimat matematika dari Tabel diatas Dengan kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

            ⇒       2y = 20

            ⇒          y = 20/2

            ⇒          y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

            ⇒ x  + 0  = 20

            ⇒         x  = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

             ⇒ 0   + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

            ⇒ 3x + 0 = 20

            ⇒ 3x        = 20

            ⇒   x        = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20  | x 1  |   x + 2y = 20

3x + y = 20  | x 2 | 6x + 2y = 40

                            ============  -

                             -5x          = -20

                                x           = 20/5

                                x           = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

       y = 20 - 12

       y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(4) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

                      = 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

                      = 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

                        = 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

17. 

18.

 
Det(AtB) = (10.34) – (12.12) = 340 – 144 = 196

19. Diketahui

A = 

Matriks A tidak mempunyai invers

Ditanyakan  

x = .... ?

Jawab

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

|A| = 0

(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0

10x + 5 – 18x + 3 = 0

8 – 8x = 0

8 = 8x

x = 

x = 1

20. 

21. 

22.

Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.

Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.

Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. pensil (x) dan penghapus (y)

Maka:
5x + 3y = 11.500 | x2 | 10x + 6y = 23000
4x + 2y = 9000 | x3 | 12x + 6y = 27000
——————-—-
-2x = -4000
x = 2000

5x + 3y = 11500
5(2000) + 3y = 11500
10000+ 3y = 11500
3y = 1500
y = 500

6(2000) + 5(500)
12000 + 2500
=14.500

 

24. Banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya adalah,

Matriks A = 
 
Matriks harga makanan adalah,

Matriks B = 

⇔ AB = pemasukan harian Bu Ani
⇔ AB = 
⇔       = 
⇔       = 
⇔       = 

Jadi, pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin A, kantin B, dan kantin C berturut-turut adalah Rp 55.000,00; Rp 93.000,00; dan Rp 100.000,00.

Total pemasukan harian Bu Ani dari seluruh kantin adalah Rp 55.000,00 + Rp 93.000,00 + Rp 100.000,00 = Rp 248.000,00

25.

x + y = 16

3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks:





Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.

26. Transformasi geometri ↓

1. Translasi (pergeseran)

Translasi adalah perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu.

2. Refleksi (pencerminan)

3. Rotasi (perputaran)

Rotasi atau perputaran adalah sebuah perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu.

4. Dilatasi (perbesaran)

•    Pelajari Lebih Lanjut → Berdasarkan gambar, tentukan translasi T yang menggeser masing masing objek tersebut

Refleksi merupakan salah satu bagian dari transformasi geometri, dimana benda yang kita refleksikan akan berlawanan arah dengan benda aslinya.

Pencerminan terhadap sumbu x

A(a, b) → sb x → A'(a, -b)

Pencerminan terhadap sumbu y

A(a, b) → sb y → A'(-a, b)

Pencerminan terhadap garis y = x

A(a, b) → gr y = x →  A'(b, a)

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b)  → gr y = -x → A'(-b, -a)

Pencermianan terhadap titik pangkal koordinat

A(a, b)  → titik pangkal →  A'(-a, -b)

Pencerminan terhadap garis x = h

A(a, b) → garis x = h → A' (2h - a, b)

Pencerminan terhadap garis y = k

A(a, b) → garis y = k → A'(a, 2k - b)

Penyelesaian Soal

Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b)  → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian

(x, -y) dicerminkan thp sumbu y : (-x, -y)

Jadi

-x = x' => x = -x'
-y = y' => y = -y'

Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah
(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1
-y' = 3x'² - 2x' - 1
y = -3x² + 2x + 1

28. Matriks refleksi y = x adalah:

Matriks rotasi 90° berlawanan jarum jam di pusat (0,0) adalah:


Menghasilkan komposisi transformasi:


Memberikan:


Yang mana:
x = -x'
y = y'

Substitusi ke persamaan yang akan menghasilkan:

29. Kita  siapkan variabel-variabel x dan y sebagai variabel awal, x' dan y' sebagai variabel bayangan setelah pencerminan garis, dan x" serta y" sebagai variabel bayangan setelah translasi.

Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi 

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4  

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Kesimpulan

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran 

30. A(3,-2)

dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4
y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4

Bayangan A = A' = (4,-4)

lanjut rotasi [O , 90°]

x" = -y' = -(-4) = 4
y" = x' = 4

Bayangan akhir = A" = (4,4)

31. 

32. • refleksi thd sb x

x' = x

y' = -y

Bayangan

y = x² + 3x + 3

-y' = x'² + 3x' + 3

y = -x² - 3x - 3

• lanjut dilatasi [O, 4]

x' = 4x → x = 1/4 x'

y' = 4y → y = 1/4 y'

Bayangan akhir

y = -x² - 3x - 3

1/4 y' = -(1/4 x')² - 3(1/4 x') - 3

1/4 y = -1/16 x² - 3/4 x - 3

Kedua ruas kalikan 4

y = -1/4 x² - 3x - 12 ✔

33. 

34. 

35. 

36. maka
U1,U2,U3,...
50.000, 55.000, 60.000,....
maka 
a=50.000
b=5.000(beda per bulan)
yg ditanyakan=jumlah tabungan dlm 2 tahun, maka jumlah tabungan dalam 24 bulan
maka
Sn=n/2(a+Un)
cari Un dulu
Un=a+(n-1)b
U24 =50.000+(24-1)5.000
U24=50.000+23x5.000
U24=50.000 + 115.000
U24=165.000
lalu
Sn=n/2(a+Un)
S24=24/2(50.000+165.000)
S24=12(215.000)
S24=2.580.000

37. 

 

38. 

39. 

40.  

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

 Pengertian Bunga

Bunga adalah selisih antara jumlah nominal uang yang dipinjamkan oleh pemilik modal dengan jumlah yang dikembalikan oleh pemakai modal berdasarkan kesepakatan bersama. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). Terdapat dua jenis bunga, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Jenis – Jenis Bunga

Berikut ini adalah jenis – jenis bunga berdasarkan besarnya bunga yang dibayarkan pada setiap periode:

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang dibayar pada setiap periode dengan besaran tetap. Besarnya bunga tunggal dihitung berdasarkan perhitungan modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode:

Rumus besarnya modal pada akhir periode:

Dimana:
 bunga
 modal awal
 modal pada akhir periode – 
 periode
 tingkat suku bunga (persentase)

Contoh:

Koperasi Simpan Pinjam memberikan pinjaman kepada anggotanya dengan bunga 2% per bulan. Jika Adi meminjam uang sebesar Rp. 500.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 bulan, tentukan besar bunga setiap bulannya dan besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang telah ditentukan!

Jawab:


 bulan

Maka, besar bunga setiap bulannya adalah:

Besar uang yang harus dikembalikan setelah 2 bulan:

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bung ayang dapat berbunga. Perhitungan dalam bunga majemuk menggunakan perhitungan deret geometri.

Misalkan modal sebesar  dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga  (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke- () dapat dihitung dengan cara berikut ini:

Jadi, rumus untuk besar modal pada periode ke- dengan bunga majemuk ialah:

Dimana:
 besar modal pada periode ke-
 modal awal
 tingkat suku bunga
 periode

Contoh:

Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp. 5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:

 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah:

Anuitas

Anuitas adalah sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah dan jangka waktu yang tetap (tertentu). Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka terdapat tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan, yaitu:

1. Besar pinjaman
2. Besar bunga
3. Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga:

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar  mendapat bunga sebesar  per bulan dan anuitas sebesar , maka dapat ditentukan:

Besar bunga pada akhir periode ke-:

Besar angsuran pada akhir periode ke-:

Sisa hutang pada akhir periode ke-:

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh pertumbuhan yaitu perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear:

Rumus pertumbuhan eksponensial:

Dimana:
 nilai besaran setelah  periode
 nilai besaran di awal periode
 tingkat pertumbuhan
 banyaknya periode pertumbuhan

Contoh:

Banyaknya bakteri pada satu telapak tangan yang kotor meningkat 2% secara eksponensial setiap satu jam sekali. Saat ini, terdapat bakteri sebanyak 150.000 pada sebuah telapak tangan. Hitunglah banyaknya bakteri setelah satu jam kemudian!

Jawab:

 jam

Banyaknya bakteri setelah satu jam:

 bakteri

Peluruhan

Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh dari peluruhan yaitu peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear:

Rumus peluruhan eksponensial:

Dimana:
 nilai besaran setelah  periode
 nilai besaran di awal periode
 tingkat peluruhan
 banyaknya periode peluruhan

Contoh:

Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut sebanyak 5% dari ukuran sebelumnya setiap 6 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

Ukuran bahan radioaktif setelah 1 hari:

Contoh Soal Bunga Tunggal/Majemuk/Anuitas dan Pembahasan

1. Contoh Soal Bunga Majemuk

Modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga majemuk 2% per tahun. Pada permulaan tahun ketiga, modal itu menjadi?

Pembahasan



(n = 2, karena awal tahun ke-3 sama dengan akhir tahun ke-2)

2. Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga adalah?

Pembahasan

Angsuran

Bunga







gram

Sisa hutang

3. Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?

Pembahasan











Sisa hutang pada akhir periode ke-5 adalah