Logika Matematika

Penjelasan dan Contoh Soal Logika Matematika

Pengertian Logika Matematika

Dalam Matematika, logika digunakan untuk menarik kesimpulan berdasarkan premis-premis yang kita miliki.

Lalu, apa itu premis?

Premis menurut KBBI adalah pernyataan yang dianggap benar sebagai landasan bagi kesimpulan yang akan diperoleh.

Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka merupakan suatu kalimat lengkap yang belum pasti kebenarannya, baik benar maupun salah. Contoh dari kalimat terbuka adalah

f(x) : 2x-1>5, x ∈ R

kalimat tersebut merupakan kalimat terbuka dikarenakan misal saat x=5 maka f(x) bernilai benar, sedangkan pada saat x=1 kalimat tersebut bernilai benar.

Kalimat Tertutup

Kalimat tertutup merupakan kebalikan dari kalimat terbuka, kalimat tertutup adalah kalimat lengkap yang sudah dapat dipastikan nilai kebenarannya, baik benar maupun salah. Contoh dari kalimat tertutup adalah

“Bilangan 2 merupakan bilangan prima genap”

Kalimat tersebut dapat dikategorikan sebagai kalimat tertutup dikarenakan dapat kita ketahui nilai kebenarannya. Nilai kebenaran dari kalimat tersebut adalah benar.

Negasi

Negasi sering disebut juga ingkaran atau penyangkalan. Negasi adalah kebalikan nilai dari sebuah kalimat.

Jadi ketika kalimat awal bernilai benar, maka negasinya akan bernilai salah, begitu juga sebaliknya. Negasi biasanya dinotasikan dengan ~ (negasi).

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut

p (Kalimat awal)	~p (negasi dari p)
B	S
S	B

Contoh kalimat :

• p: 5 adalah bilangan genap (Bernilai Salah) 
• ~p: 5 adalah bukan bilangan genap (bernilai benar)

Konjungsi

Konjungsi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “dan”.

Konjungsi memiliki notasi ˄ , konjungsi tersebut hanya akan bernilai benar jika semua kalimat awalnya bernilai benar.

Tabel kebenaran konjungsi adalah sebagai berikut.

p	q	p ˄ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh konjungsi :

• p : 2 adalah bilangan prima (benar)
• q : 2 adalah bilangan genap (benar)
• p^q : 2 adalah bilangan prima dan genap (benar)

Disjungsi

Disjungsi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “atau”. Disjungsi memiliki notasi ∨, Disjungsi tersebut hanya akan bernilai salah jika semua kalimat awalnya bernilai salah.

Tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut.

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh disjungsi :

• p : 2 adalah bilangan prima (benar)
• q : 2 adalah bilangan ganjil (salah)
• p^q : 2 adalah bilangan prima atau ganjil(benar)

Implikasi

Implikasi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “jika… maka…”. Implikasi memiliki notasi ⇒, Implikasi tersebut hanya akan bernilai salah jika kalimat awalnya bernilai benar kemudian salah.

Tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut.

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh implikasi :

• p : 2 adalah bilangan prima (benar)
• q : 2 hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri (benar)
• p ˄ q : jika 2 adalah bilangan prima maka hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri(benar)

Biimplikasi

Biimplikasi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”.

Implikasi memiliki notasi ⇔, biimplikasi tersebut hanya akan bernilai benar jika semua kalimat awalnya bernilai benar atau semua kalimatnya bernilai salah.

Tabel kebenaran biimplikasi adalah sebagai berikut.

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh implikasi :

• p : 5 adalah bilangan prima (benar)
• q : 5 adalah bilangan genap(salah)
• p ˄ q : 5 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 5 adalah bilangan genap (salah)

Contoh Soal Logika Matematika

1. Diberikan 2 premis kepada seorang pelajar. Premis pertama, apabila pelajar rajin belajar, maka pelajar juara kelar. Premis kedua, pelajar rajin belajar. Bagaimana kesimpulan untuk persoalan ini.

Pembahasan

Untuk menjawab persoalan ini, kita harus mengetahui hubungan antar premis sehingga bisa disimpulkan dengan benar.

Kita dapat menulis bentuk hubungan kedua premis, namun kita perlu melakukan pemisalan dalam premis tersebut.

Kita asumsikan bahwa pelajar belajar adalah m. Sedangkan untuk juara kelas kita asumsikan dengan n.

Sehingga untuk merumuskan kesimpulan dari persoalan di atas bisa seperti penyelesaian di bawah ini.

Premis 1: m ⇒ n

Premis 2: n

Kesimpulannya: n (Modus ponens)

Dari kedua premis yang diberikan, kesimpulannya adalah pelajar juara kelas.

2. Seorang guru memberikan 2 premis kepada siswanya. Premis pertama adalah jika besok hujan, maka sekolah libur. Premis kedua adalah sekolah tidak libur. Tentukan kesimpulan dari kedua premis yang diberikan.

Pembahasan

Sama seperti soal sebelumnya, kita perlu melakukan pemisalan dan menuliskan bentuk persamaannya.

Kita dapat memisalkan hujan adalah A dan libur adalah B. Kita dapat menuliskan bentuk persamaannya sebagai berikut

Premis 1: A ⇒ B

Premis 2: ~B

Kesimpulannya: ~A (Modus tollens)

Kesimpulan yang dapat diberikan adalah besok hari tidak hujan.

3. Tentukan kesimpulan yang tepat pada kedua premis berikut:

Premis 1: Jika Lendra nakal, maka Punto tidak mau menjadi teman

Premis 2: Jika Punto tidak mau menjadi teman, maka Lendra akan kesepian

Pembahasan

Untuk melakukan penyelesaian di soal ini, kita harus melakukan pemisalan kembali sekaligus membuat persamaan matematikanya sehingga mudah dimengerti.

Berikut ini persamaan matematika soal di atas.

Premis 1: X ⇒ Y

Premis 2: Y ⇒ Z

Kesimpulannya: X ⇒ Z (Silogisme)

Berdasarkan proses penyelesaian di atas, maka kesimpulan yang benar adalah jika Lendra nakal, maka Lendra akan kesepian.

4. Sebuah tembok akan dilakukan pengecatan. Namun, sebelum mengerjakan pengecetan, para pekerja diberi 2 premis. Yang pertama adalah jika tembok warna putih, maka bersih. Premis kedua adalah jika tembok bersih, maka siap untuk di cat. Tentukan kesimpulan untuk pernyataan di atas.

Pembahasan

Sama seperti soal logika matematika pada umumnya, kita harus memecah premis tersebut menjadi sebuah pemisalan yang dapat digunakan.

Kita anggap warna tembok putih sebagai X, lalu untuk bersih kita misalkan sebagai Y. Untuk premis kedua, siap untuk di cat kita misalkan sebagai Z.

Maka kita dapat menuliskan persamaan logika matematiknya sebagai berikut.

Premis 1: X ⇒ Y

Premis 2: Y ⇒ Z

Kesimpulannya: X ⇒ Z (Silogisme)

Berdasarkan penarikan kesimpulan di atas, maka kesimpulannya adalah tembok siap untuk di cat karena sudah bersih.

5. Jika diketahui kalimat sebagai berikut

p: 10 adalah bilangan bulat bukan prima

q: 10 adalah bilangan ganjil

bagaimanakah kalimat majemuk dari p ˄ q dan p ∨ q serta tentukan nilai kebenaran dari masing masing kalimat majemuk tersebut

Pembahasan

p: 10 adalah bilangan bulat bukan prima (benar)

q: 10 adalah bilangan ganjil (salah)

p ˄ q : 10 adalah bilangan bulat bukan prima dan ganjil

berdasarkan tabel konjungsi, nilai kebenaran dari p ˄ q adalah salah

p ∨ q : 10 adalah bilangan bulat bukan prima atau 10 adalah bilangan ganjil

berdasarkan tabel disjungsi, nilai kebenaran dari p ∨ q adalah benar.

Soal Trigonometri

Soal Trigonometri kelas 10

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

A. HP = {30o,120o}

B. HP = {30o,390o}

C. HP = {30o,480o}

D. HP = {120o,480o}

E. HP = {390o,480o}

Jawaban : A

Pembahasan : 

2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

A. HP = {60o,420o}

B. HP = {60o,300o}

C. HP = {30o,360o}

D. HP = {30o,120o}

E. HP = {-60o,120o}

Jawaban : B

Pembahasan : 

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 π, 0 ≤ x ≤ 2π …..

Jawaban : C

Pembahasan : 

4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1 , dengan 0o ≤ x ≤ 360o …..

A. HP = {30o,390o}

B. HP = {150o,510o}

C. HP = {60o,390o}

D. HP = {30o,150o}

E. HP = {30o,60o}

Jawaban : D

Pembahasan : 

5. Untuk 0 ≤ x ≤ 2 π, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tan (2x – ¼π) = ¼π , …..

10. Himpunan penyelesaian dari cos (x-15°) = ½√3 untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah…..

A. HP = {45o,315o}

B. HP = {45o,295o}

C. HP = {45o,345o}

D. HP = {75o,345o}

E. HP = {75o,315o}

Jawaban : E

Pembahasan : 

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin2x – 2 sin x – 3 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o …..

A. HP = {-90o,270o}

B. HP = {-90o,270o, 630o}

C. HP = {-90o,630o}

D. HP = {270o}

E. HP = {90o}

Jawaban : D

Pembahasan : 

7. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…..

Jawaban : E

Pembahasan : 

8. Nilai dari cos² 15° + cos² 35° + cos² 55° + cos² 75° adalah…

A. 2

B. -1

C. 1

D. -2

E. 3

Jawaban : A

Pembahasan : 

cos² 15° + cos² 35° + cos² 55° + cos² 75°

Rumus Kuadran I → sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α)

Identitas trigonometri → sin²α + cos²α = 1

= cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°

= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°

= cos² (90-75)° + cos²75° + cos² (90-55)° + cos²55°

= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°

= 1 + 1 = 2 (A)

9. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tan x adalah …..

A. √3

B. 1/3√3

C. 3 √3

D. 570o

E. 2 √3

Jawaban : B

Pembahasan : 

10. Himpunan penyelesaian dari cos (x-15°) = ½√3 untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah…..

A. HP = {45o,315o}

B. HP = {45o,295o}

C. HP = {45o,345o}

D. HP = {75o,345o}

E. HP = {75o,315o}

Jawaban : C

Pembahasan : 

11.    Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B = 12/13 maka sin C = ...
a.    20/65
b.    36/65
c.    56/65
d.    60/65
e.    63/65
Pembahasan:
Jika cos A = 4/5, maka: sin A = 3/5 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:
(ingat ya, bahwa cos itu samping/miring dan sin itu depan/miring)

Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:

Maka, sin C = sin A . cos B + sin B . cos A
                    = 3/5 . 5/13 + 12/13 . 4/5
                    = 15/65 + 48/65
                    = 63/65
Jawaban: E

12.    Nilai dari   = ...
a.    -2 - √3
b.    -1
c.    2 - √3
d.    1
e.    2 + √3
Pembahasan:

Jawaban: B

13.    Diketahui sin A = 12/13 dan cos B = 3/5, <A dan <B lancip. Nilai tan (A – B) = ...
a.    36/63
b.    26/63
c.    16/63
d.    6/33
e.    1/33
Pembahasan:
Sin A = 12/13, maka cos A = 5/13 (carilah dengan segitiga siku-siku seperti soal nomor 1)
Cos B = 3/5, maka sin B = 4/5 (carilah dengan segitiga siku-siku seperti soal nomor 1)

Jawaban: C

14.    Luas segitiga ABC adalah 24 cm2, sisi AC = 8 cm, dan AB = 12 cm. Nilai cos <A = ...
a.    1/3 √2
b.    ½
c.    1/3 √3
d.    ½ √2
e.    ½ √3
Pembahasan:
Perhatikan segitiga berikut:

Luas ABC = ½ . AB . AC . sin A
24 = ½ . 12 . 8 . sin A
24 = 48 sin A
Sin A = 24/48
Sin A = ½
A = 30
Maka cos A = cos 30 = ½ √3
Jawaban: E

15.    Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q. Jika sin (Q + P) = r, maka cos P – sin R = ...
a.    -2r
b.    –r
c.    0
d.    R
e.    2r
Pembahasan:
sin (Q + P) = r
sinQ . cosP + sinP. cosQ = r
1.cos P + 0 = r (ingat ya, diketahui Q = siku-siku)
Cos P = r ... (i)
Sin R = sin (180 – (Q + P)
         = sin (Q + P)
         = r
Maka, cos P – sin R = r – r = 0
Jawaban: C

16.    Jika – π/2 < x < π/2 dan  maka cos x = ...
a.    ½ √3 dan 2/3√3
b.    – ½ √3 dan 2/3 √3
c.    ½ √3 dan – 2/3 √3
d.    – 1/3√2 dan – 2/3√3
e.    1/3√2 dan 2/3 √3
Pembahasan:

Misalkan sin x = A, maka:

    (2A – 1) (3A + 1) = 0
    A = ½ atau A = - 1/3
Maka, sin x = ½ , maka cos x = 1/2 √3  
           Sin x = - 1/3, maka cos x = 2/3√2
Jawaban: A

17.    Jika 0 ≤ x ≤ 2π dan 0 ≤ y ≤ 2π memenuhi persamaan sin (y + x) = sin y . cos x maka cosy . sin x = ...
a.    -1
b.    – ½
c.    0
d.    ½
e.    1
Pembahasan:
Sin (y + x) = sin y . cos x + cosy . sin x
sin y . cos x = sin y . cos x + cosy . sin x
cosy . sin x = sin y . cos x - sin y . cos x
cosy . sin x = 0
Jawaban: C

18.    Luas segi dua belas beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 12 cm adalah ...
a.    36 cm2
b.    36√3 cm2
c.    144 cm2
d.    432 cm2
e.    432√3 cm2
Pembahasan:
Yuk, ingat kembali rumus luas segi-n dengan panjang jari-jari lingkaran luar r:

Maka luas segi dua belas di atas adalah:

     L = 12 x ½ x 144 x sin 30
     L = 12 x 72 x ½
     L = 6 x 72
     L = 432 cm2
Jawaban: D

19.    Jika  dan q = sin x, maka p/q = ...
 
Pembahasan:


Jawaban: E

20.    Jika besar sudut dalam segi-8 beraturan adalah x maka sin x + cos x = ...
a.    0
b.    ½ √2
c.    – √2
d.    √2
e.    ¼ √2
Pembahasan:
Perhatikan segi-8 berikut ini:

< AOB = 360/8 = 45
<ABO = (180 – 45) : 2 = 67,5
Sudut segi-8 atau <ABC = <ABO +<OBC = 67,5 x 2 = 135
Maka nilai dari sin x + cos x = sin 135 + cos 135
                                           = sin (180 + 45) + (-cos (180 + 45)
                                           = sin 45 + (-cos 45)
                                           = ½ √2 - ½ √2
                                           = 0
Jawaban: A