Pengertian Matriks, Macam-macam Matriks, Operasi Matriks dan Contoh soalnya

 

Pengertian Matriks

Merupakan kumpulan pada buah bilngan yang tersusun antara baris dan kolom atau bisa disusun dengan keduannya dan emudian dihimpit dengan tanda kurung. Matrik mempunyai elemen-elemen pada bilangan tertentu untuk penyederhanan data agar dapat dengan mudah dikelolanya.

Sebuah metrik dapat diperoleh dengan cara menukar elemen pada baris menjadi kolom atau elemen. Dan dapat disimbolkan dengan lambang tanda petik A’ atau dengan huruf T kecil diatasnya AT .

Jenis-jenis Matriks

Terdapat beberapa jenis matrikss yang dapat kita gunakan dalam menghitung nya diantaranya :

Matriiks Baris

Dapat didefinisikan yaitu sebuah matrikss yang hanya memiliki satu baris saja, dan dapat dilihat pada contoh dibawah:

Matriks Kolom

A = {2 – 13 4}

Matriiks Persegi

Definisi dari matrikss ini adalah sebuah matrikss yang memiliki jumlah baris dan kolon yang sama dan dapat dilihat pada contoh dibawah ini :

Matriks Persegi

Matrikss Nol

Sebuah matrikss semua elemnya adalah angka 0. dan contohnya dapat anda lihat di bawah:

Matriks Nol

Matrikss Identitas

Sejumlah matrikss yang konstanta dengan elemen diagonal utamanya angka 1, dan contohnya dapat anda lihat dibawah:

Matriks Identitas

Sifat-Sifat Matrikss

Berikut beberapa sifat matrik yang menjadi acuan dasar dalam operasi perhitungan sebuah matrikss.

Sifat Matriks

1. (AT)T = A 2. (AB)T = BT AT 3. λ(AT) = (λAT), bila λ suatu scalar 4. (AB)T = BT AT

Operasi Matrikss

Terdapat operasi dasar matrikss dalam perhitungannya yaitu menggunakan penjumlahan dan pengurangan matrikss dan hanya dapat dilakukan pada kedua bialngan metrik memiliki ukuran dan tipe yang sama, dan elemen tersebut harus memiliki posisi dan letak yang sama. Contohnya bisa anda lihat di bawah ini.

Contoh Operasi Matriks

Penjumlahan Matrikss

Perhitungan penjumlahan dapat anda lihat pada contoh atau penjumlahan nya dibawah:

Penjumlahan Matriks

Pengurangan Matrikss

Dalam perhitungan matriksnya anda dapat mengurangi jumlah dari bialngan tersebut. Dapt anda lihat seperti berikut :

Pengurangan Matriks

Pada sifatnya dalam pengurangan dan penjumlahan dapat anda lihat dibawah ini :

Sifat pengurangan dan penjumlahan

Perkalian Matrikss

Pada perkalian ini dapat dikalikan dengan bilangan bulat dengan matriiks lainya, contohnya anda dapat lihat di dibawah ini:

Perkalian ini dapat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan bisa kita lakukan dengan ordo sama, sifatnya sebagai berikut :

Rumus dan Contoh Matrikss

Rumus Matriks dan Contoh Matriks

Contoh Soal Matrikss

Soal 1

Contoh Soal Matriks

Soal 2

Kesimpulan

Apa yang telah kalian pelajari pada materi matriks ini?

• Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.
• Perkalian pada matriks ada dua, yaitu perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks.  Perkalian skalar dengan matriks yaitu dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar. Perkalian matriks dengan matriks dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen baris matriks pertama dengan setiap elemen kolom pada matriks kedua.
• Determinan matriks 2 × 2, misalkan terdapat . Sedangkan determinan matriks 3 × 3 dapat dihitung dengan metode sarrus.
• Secara umum, invers matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan terdapat matriks A,

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

 

Soal:

Dengan persediaan kain polos 20m dan kain bergaris 10, Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak...

Diketahui:

Model I: Kain Polos 1 meter dan Kain Bergaris 1,5 meter 

Model II: Kain Polos 2 meter dan Kain Bergaris 0,5 meter

Persediaan: 

- Kain Polos 20 meter

- Kain Bergaris 10 meter 

Laba:

- Model I tak kurang dari Rp. 15.000,00 

- Model II tak kurang dari Rp. 10.000,00

Ditanya: Laba?

Jawab:

Model 1 : x

Model 2 : y

Penggunaan tabel seperti berikut ini:

Jika masing masing dijadikan persamaan, hasilnya akan seperti ini

Model I + Model II= Persediaan 

Kain Polos: 1x + 2y =20 

Kain Bergaris: 1,5x + 0,5y = 10

Lalu selanjutnya persamaan kain polos dan bergaris kita substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y

Dari hasil eliminasi persamaan kain polos dan kain bergaris ditemukan hasil x= 4, selanjutnya kita akan substitusi x ke persamaan kain polos.

Hasil yang diperoleh dari kedua cara diatas adalah x= 4 dan y= 8

Hasil tersebut kemudian kita manfaatkan untuk mencari laba. Sesuai permintaan soal diketahui Model I menghasilkan laba tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan untuk Model II menghasilkan laba tidak kurang dari Rp. 10.000,00 sehingga dapat di peroleh rumus:

Laba: 15.000x + 10.000y 

Hasil dari x dan y kita masukan kedalam rumus tersebut, dapat ditulis dengan cara:

Jadi, Dewi mendapatan laba sebanyak Rp.140.000,00

GAMBAR DAERAH BERSIH ATAU DAERAH KOTOR PROGRAM LINEAR

 Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear

Nama: Alyssa Maharani (5)

Kelas: XI IPS 2

Gambar daerah bersih atau daerah kotor program linear dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12 , 5x + 3y < 19 , x ≥ 0, y ≥ 0 

Program Linear

Pengertian Program Linear

Program linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikan tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah berikut:

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

• Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
• Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu:

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada ialah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinaan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.
• Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :
  • Menggunakan garis selidik, dan
  • Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.

1. Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik dapat diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang mana garis selidiknya ialah:

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaannya juga dibuat.

Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Lalu kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut adalah pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0), yaitu:

• Apabila maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.

Apabila minimum, maka dibuatlah garis yang sejajar garis selidik awal sehingga akan membuat suatu himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikan grafik dibawah:

Cara ke- 2 (syarat b > 0), yaitu:

• Apabila maksimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.
• Apabila minimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikanlah grafik dibawah berikut:

Bagi nilai a < 0 dan b < 0 maka berlaku sebuah kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

2. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilaksanakan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari suatu garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka dapat ditentukan nilai masing-masing fungsinya, yakni kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil adalah merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1:

Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

• Langkah 1 yaitu menggambar grafiknya terlebih dahulu:

• Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya:

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

• Langkah yang ke-3, yaitu menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh Soal 2:

Tentukanlah dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar ialah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik A paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim ialah:

• 
• 
• 

Sehingga dapat diketahui hasilnya bahwa nilai maksimumnya berada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.