Alyssa Maharani (6) XI IPS 2: Soal dan Pembahasan Trigonometri

Nama: Alyssa Maharani (05)

Kelas: X IPS 2

Soal dan Pembahasan Trigonometri

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

Contoh soal

Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad

Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 1/2 π rad

b) 3/4 π rad

c) 5/6 π rad

Contoh soal
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°

Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 270°

b) 330°

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri pada segitiga siku siku dan sudut istimewa

Ada 6 jenis perbandingan trigonometri, yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Perbandingan yang dimaksud adalah pada panjang sisi segitiga siku-siku.

Pada segitiga ABCABC yang siku-siku di BB, berlaku
sin α=BCAC csc α=ACBC cos α=ABAC sec α=ACAB tan α=BCAB cot α=ABBC

Sudut istimewa:

Contoh soal:

1. Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Tentukan:
a) panjang AC

b) sin θ

c) cos θ

d) tan θ

e) cosec θ

f) sec θ

d) cotan θ

Pembahasan
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC

b) sin θ

c) cos θ

d) tan θ

e) cosec θ

f) sec θ

g) cotan θ

2. Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.

Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!

Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.

sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter

Lebar jalan = BC = 4 meter

3. Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.

Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.

Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan

Tinggi menara sekitar 34 meter.

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku siku pada koordinat kartesius

Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah ⋯⋅⋯⋅

Pembahasan

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30∘
Karena satu putaran sama dengan 360∘, maka −30∘ sama dengan (360−30)∘=330∘

Jadi, besar sudutnya adalah 330∘

3.7 Komposisi operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan perkalian

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Sudut

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian dari Sinus dan Cosinus diperoleh dari menjumlahkan dan mengurangi rumus dari sudut rangkap.

Rumus:

Jumlahkan

dengan

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan merupakan modifikasi dari bentuk perkalian Sinus dan Cosinus.

Pada modifikasi ini, kita cukup mensubtitusi

menjadi

dan

menjadi

sehingga diperoleh:

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut

Pembahasan

Penjabaran dari bentuk

adalah

dimana

sesuai identitas trigonometri, sehingga:

Untuk bentuk

dengan menggunakan rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk

,atau

Untuk penyelesaian persamaan ini, kita gunakan bentuk

Sehingga persamaan menjadi:

Ketika tanda kurung dihilangkan, menjadi:

Bagi pembilang dan penyebut dengan

, dan diperoleh bentuk:

atau

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut sudut di berbagai kuadran

Contoh Soal

Tentukanlah nilai dari sin 120°+cos 201°+cos 315°!

Pembahasan:

sin 120° berada pada kuadran 2, hingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti sin 120° = sin (180-60)° = sin 60° = 1/2 √3

cos 120° berada pada kuadran 3, hingga nilainya negatif dengan besar sama seperti cos 120° = cos (180+30)° = – cos 30° = -1/2 √3

cos 315° berada pada kuadran 4, hingga nilainya positif dengan besar sama seperti cos 315° = cos (360-45)° = cos 45° = 1/2 √2

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut sudut berelasi , sudut negative, dan sudut >360°

Rumus sudut berelasi:

Sudut Relasi Kuadran I

sin (90° − α) = cos α
cos (90° − α) = sin α
tan (90° − α) = cot α

Sudut Relasi Kuadran II

sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α
cos (180° − α) = -cos α
tan (180° − α) = -tan α

Sudut Relasi Kuadran III

sin (180° + α) = -sin α
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α
cos (270° − α) = -sin α
tan (270° − α) = cot α

Sudut Relasi Kuadran IV

sin (270° + α) = -cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α
cos (360° − α) = cos α
tan (360° − α) = -tan α

Contoh Soal

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Pembahasan:
sin 20° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

3.8 Menyelesaikan koordinat kutub (koordinat polar) ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub (koordinat polar)

Mengubah koordinat kartesius menjadi koordinat polar
Perhatikan kembali gambar di atas, khususnya segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya x, y, dan r. Menurut teorema pythagoras, panjang ruas garis r dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut.

Masih pada segitiga siku-siku yang sama, berlaku perbandingan trigonometri berikut.

Kesimpulan

Jika diketahui koordinat kartesius (x,y), koordinat polar (r,α) dapat diperoleh dengan dengan aturan sebagai berikut. (r,α)=

dengan tan^-1 merupakan invers tangen.

Mengubah koordinat polar menjadi koordinat kartesius
Perhatikan kembali segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya x, y, dan r di atas. Pada segitiga siku-siku tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut.

Kesimpulan

Jika diketahui koordinat polar (r,α), koordinat kartesius (x,y) dapat diperoleh dengan aturan sebagai berikut. (x,y)=(r cos α,r sin α)

Contoh soal dan pembahasannya
Ubah koordinat kartesius (1,

) menjadi koordinat polar. Dari aturan di atas, kita peroleh koordinat polarnya.

Ubah koordinat polar (2,45°) menjadi koordinat kartesius.
Dari aturan di atas, kita peroleh koordinat kartesiusnya.

3.8 Soal cerita perbandingan trigonometri

Contoh soal

Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.

Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.

Pembahasan

tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut

Tinggi menara sekitar 34 meter.

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi & aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Contoh soal

1. Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60^o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

Pembahasan

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

2. Suatu segitiga ABC memiliki panjang AC = 8 cm. Jika besar

dan

, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat diperoleh informasi seperti berikut ini.

Panjang BC dapat dicari menggunakan aturan sinus.

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi dan aturan cos ditanya sudut

Contoh Soal

1. Pada suatu segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c memenuhi

. Maka besar sudut A adalah ….

Pembahasan

Diketahui:

Sehingga

Salah satu rumus cosinus adalah:

Berdasarkan dua persamaan di atas, akan diperoleh nilai cos A.

2. Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!

Pembahasan

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Jawab:

b² = a² + c² - 2ac cos B

b² = 5² + 6² - 2(5)(6) cos 60º

b² = 25 + 36 - 60 (0,5)

b² = 61 - 30

b² = 31

b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

3.9 Menyelesaikan luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

· Rumus luas segitiga yang diketahui 2 sisi dan sudut yang diapit nya

· Rumus luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya

Contoh soal
Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya adalah a=2, b=3, dan c=4

Jawaban

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

1. Grafik fungsi y = f(x) = sin x

2. Grafik fungsi y = f(x) = cos x

3. Grafik fungsi y = f(x) = tan x

4. Grafik fungsi y = f(x) = cotan x

5. Grafik fungsi y = f(x) = sec x

6. Grafik fungsi y = f(x) = cosec x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi dan sudut depresi

11. Tentukan tinggi tiang bendera jika Ani berdiri 10 meter dari sebuah tiang bendera. Ani melihat puncak tiang bendera dengan sudut elevasi 45° dan tinggi badan Ani 1,5 m!

Penyelesaian:

Tinggi menara = tinggi ani + 10 . tan 45°= 1,5 + 10 . 1= 11,5

Jadi, tinggi menara 11,5 m.

2. Sebuah kapal penyelamat dengan menggunakan sonar Dapat menentukan bahwa sudut depresi ke kapal yang tenggelam adalah 35° di dasar laut.Diketahui kedalaman laut 40 m.Berapa jauh seorang penyelam dari kapal yang tenggelam tersebut?

Penyelesaian:

Kedalaman / Tinggi = 40 m

sudut depresi = sudut Elevasi = 35 °

Sin35 ° = Kedalaman (Tinggi) / Jarak

=> 0,57 = 40 / Jarak

=> Jarak = 70 m

70 m jauh seorang penyelam dari kapal yang tenggelam tersebut

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur

dengan kelipatan

(satu putran penuh) akan diperoleh titik p(a) yang sama, sehingga secara umum berlaku :

dengan k∈B atau

dengan k∈B

dengan k∈B atau

dengan k∈B

Dengan demikian, fungsi sinus

atau

dan fungsi kosinus

atau

adalah fungsi periodik dengan periode dasar

atau

2. Periode fungsi tangen
Untuk penambahan panjang busur

dengan kelipatan

(setengah putran penuh) akan diperoleh titik

yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut, sehingga secara umum

dengan

atau

dengan

Dengan demikian tangen

atau

adalah fungsi periodik dengan periode

atau

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y)

pada fungsi trigonometri memiliki hubungan :

dan

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

Fungsi sinus $y =f(x) = \sin x$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x =\frac{1}{2}\pi + k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = \frac{3}{2}\pi + k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ .

Fungsi sinus $y = f(x) = \sin x^{\circ}$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x = 90^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{maks} = -1$ yang dicapai untuk $x = 270^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ .

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

Fungsi kosinus $y = f(x) = \cos x$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x =k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = \pi + k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ .

Fungsi kosinus $y = f(x) = \cos x^{\circ}$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x = k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = 180^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ .

Jika fungsi sinus $y = f(x) = a \sin (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$

Jika fungsi kosinus $y = f(x) = a \cos (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$