SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

 

1. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam $\left(4x-800+\frac{120}{x}\right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + $\frac{120}{x}$  ) x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

Jawaban : C


2. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus $x=f\left(t\right)=\sqrt{3t+1}$ (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah...

A.  $\frac{3}{10}$ m/detik

B.  $\frac{3}{5}$ m/detik

C.  $\frac{3}{2}$ m/detik

D.  3 m/detik

E.  5 m/detik

Pembahasan :
f(t) = $\sqrt{3t+1}$
⇒ f '(t) = $\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}$

v(t) = $\frac{df}{dt}$

v(t) = f '(t) = $\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}$

v(8) = $\frac{3}{2\sqrt{3.8+1}}$

v(8) = $\frac{3}{10}$

Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 adalah $\frac{3}{10}$ m/detik

Jawaban : A

3. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi $h\left(t\right)=100+40t-4t^2$. Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah...
A.  160 m
B.  200 m
C.  340 m
D.  400 m
E.  800 m

Pembahasan :
h(t) = 100 + 40t − 4t²
⇒ h'(t) = 40 − 8t

Tinggi peluru akan maksimum, jika :
h'(t) = 0
40 − 8t = 0
⇒ t = 5

Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
h(5) = 100 + 40(5) − 4(5)²
h(5) = 100 + 200 − 100
h(5) = 200

Jawaban : B

4. Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 cm². Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah...
A.  3 cm
B.  5 cm
C.  6 cm
D.  15 cm
E.  25 cm

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi maka p = l

L = 150
2(pl + pt + lt) = 150
pl + pt + lt = 75

p² + pt + pt = 75  (p = l)

2pt = 75 − p²

t = $\frac{75-p^2}{2p}$

V = p. l. t
V = p²t  (p = l)

V = p²$\left(\frac{75-p^2}{2p}\right)$

 V   = $\frac{75}{2}$p − $\frac{1}{2}$p³

Volume akan maksimum, jika :
V' = 0

$\frac{75}{2}$ − $\frac{3}{2}$p² = 0
75 − 3p² = 0
⇒ p = 5

Jadi, volume akan maksimum jika panjang balok 5 cm.

Jawaban : B

5. Jumlah bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah...
A.  100
B.  81
C.  80
D.  70
E.  72

Pembahasan :
x + y = 18
y = 18 − x

Misalkan :
L = xy
L = x (18 − x)
L = 18x − x²

L akan maksimum jika :
L' = 0
18 − 2x = 0
⇒ x = 9

x + y = 18
9 + y = 18
⇒ y = 9

Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81

Jawaban : B


6. Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus $f\left(t\right)=15t^2-t^3$. Reaksi maksimum tercapai setelah...
A.  3 jam
B.  5 jam
C.  10 jam
D.  15 jam
E.  30 jam

Pembahasan :
Fungsi reaksi :
f(t) = 15t² − t³

Reaksi akan maksimum jika :
f '(t) = 0
30t − 3t² = 0
3t (10 − t) = 0
t = 0 atau t = 10

Jadi, reaksi maksimum tercapai setelah 10 jam.

Jawaban : C 

7. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar $\left(9.000+1.000x+10x^2\right)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

Jawaban : C



8. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya $\left(5x^2-10x+30\right)$ dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = $\frac{3}{2}$ atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : D



9. Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling $\left(2x+24\right)$ m dan lebar $\left(8-x\right)$. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah...
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m.

Jawaban : C



10. Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A



11. Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah...
A.  $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ cm

B.  $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ cm

C.  $\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

D.  $\frac{2}{3\sqrt{\pi }}$ cm

E.  $\pi$ cm

Pembahasan :
Laju pertambahan volume udara :

$\frac{dV}{dt}$ = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :

$\frac{dr}{dt}$ = 20

Volume bola :
V = $\frac{4}{3}$πr³

$\frac{dV}{dr}$ = 4πr²

Dengan aturan rantai :

$\frac{dV}{dt}$ = $\frac{dV}{dr}$ × $\frac{dr}{dt}$

40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

r² = $\frac{1}{2\pi }$

r = $\sqrt{\frac{1}{2\pi }}$

r = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Jawaban : B

12. Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m²

Jawaban : D

13. Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan ...

A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan :
Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t

27 = r² t

t = $\frac{27}{r^2}$

Persamaan luas tabung tanpa tutup :

L = πr² + 2πrt

L = πr² + 2πr($\frac{27}{r^2}$)

L = πr² + $\frac{54\pi }{r}$

Turunan pertama L terhadap r :

L' = 2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ 

Luas akan minimum jika L' = 0
2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ = 0  (kali r²)

2πr³ - 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E

14. Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut adalah ...

A.  3.600 cm³
B.  5.400 cm³
C.  6.300 cm³
D.  7.200 cm³
E.  8.100 cm³

Pembahasan :

$\frac{p}{l}$ = $\frac{2}{3}$→   p = $\frac{2}{3}$l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800

($\frac{2}{3}$l)l + 2($\frac{2}{3}$l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)

2l² + 4lt + 6lt = 5400
2l² + 10lt = 5400
10lt = 5400 - 2l²

t = $\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V 

= $\frac{2}{3}$l . l . ($\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l)
V 

= 360l - $\frac{2}{15}$l³

Turunan pertama V terhadap l :
V' = 360 - $\frac{6}{15}$ l²

Volume akan maksimum jika V' = 0
360 - $\frac{6}{15}$l² = 0

360 = $\frac{6}{15}$l²

l² = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) - $\frac{2}{15}$(30)³
V = 10.800 - 3.600
V = 7.200

Jawaban : D

15. Sebuah kotak tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi, mempunyai voleme 4 m² terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah...

A.  2 m, 1 m, 2 m
B.  2 m, 2 m, 1 m
C.  1 m, 2 m, 2 m
D.  4 m, 1 m, 1 m
E.  1 m, 1 m, 4 m

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi, maka p = l

Volume kotak :
V = p. l. t
V = p²t  (p = l)

4 = p²t

t = $\frac{4}{p^2}$

Luas kotak tanpa tutup :
L = pl + 2pt + 2lt
L = p² + 2pt + 2pt  (p = l)
L = p² + 4pt
L = p² + 4p$\left(\frac{4}{p^2}\right)$

L = p² + $\frac{16}{p}$

Luas akan maksimum jika :
L' = 0

2p − $\frac{16}{p^2}$ = 0

2p = $\frac{16}{p^2}$

p³ = 8
⇒ p = 2
⇒ l = 2

t = $\frac{4}{p^2}$ = $\frac{4}{2^2}$

⇒ t = 1

Jadi, ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 2 m, 2 m, 1 m.

Jawaban : B