Alyssa Maharani (6) XI IPS 2: LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

Limit fungsi aljabar adalah salah satu konsep dasar yang ada di dalam kalkulus dan analisis, mengenai kelakuan sebuah fungsi yang mendekati titik masukan tertentu.

Sebuah fungsi memetakan keluaran f(x) untuk masing-masing masukan x. Fungsi tersebut mempunyai limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

Sehingga dengan sebutan lain, f(x) akan semakin dekat terhadap L pada saat x juga mendekat ke arah p.

Lebih jauh lagi, jika f diterapkan terhadap masing-masing masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya merupakan keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L.

Jika masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda maka fungsi f akan disebut tidak mempunyai limit.

Definisi limit telah dirumuskan secara formal sejak abad ke-19.

Konsep Limit Fungsi Aljabar

Limit bisa kita definisikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak bisa di raih.

Dalam bahasa matematikanya, kondisi tersebut bisa disebut sebagai limit.

Limit adalah suatu konsep matematika di mana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit bisa berwujud suatu fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Mengapa harus ada limit? Sebab limit mengungkapkan sebuah fungsi apabila ada batas tertentu didekati.

Mengapa harus didekati? Sebab sebuah fungsi pada umumnya tidak terdefinisi dalam titik-titik tertentu.

Meskipun sebuah fungsi seringkali tidak diartikan pada titik tertentu, tetapi masih bisa dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut jika titik tertentu semakin didekati yakni dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit ditulis seperti berikut ini:

pengertian limit fungsi

Artinya, jika x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a bisa kita lihat dari dua sisi yakni sisi kiri dan juga sisi kanan atau dengan kata lain x bisa mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Sehingga, dari uraian di atas akan kita peroleh contoh rumus di bawah ini:

limit

Untuk nilai x yang mendekati 1:

pengertian limit fungsi aljabar

Berikut untuk gambar grafiknya:

materi limit fungsi aljabar

Melihat dari gambar grafik di atas maka dapat diuraikan menjadi:

Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
Sehingga, jika x mendekati 1, maka nilai dari f(x) akan mendekati 2

TEORIMA

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

No	TEOREMA
1	$\lim \limits_{x\to c}k=k$
2	$\lim \limits_{x\to c}x = c$
3	$k \cdot \lim \limits_{x\to c}f(x)$
4	$\lim \limits_{x \to c}({f(x) + g(x)})$ $= \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x)$
5	$\lim \limits_x\to c({f(x) - g(x)}) = \lim_x\to c{f(x) - g(x)}$ $= \lim_x{\to c}f(x) - \lim_{x \to c}g(x)$
6	$\lim \limits_{x\to c}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c}g(x)$
7	$\lim \limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$
8	$\lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim_{x\to c}f(x))^n$
9	$\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim_{x\to c}f(x)}$

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:
1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

2. Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

∞, $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , 0 x∞, ∞ – ∞, 00, ∞0, atau ∞∞

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}$

3. Metode perkalian dengan akar sekawan

Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to -1}\frac{x +1}{1 - \sqrt{x + 2}} x (\frac{1 + \sqrt{x +2}}{1 + \sqrt{x + 2}}) = \frac{(x + 1)(1 + \sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}$

$=\frac{(x + 1)(1+\sqrt{x+2})}{-x - 1} = \frac{(x+1)(1+\sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + \sqrt{x + 2})$

$=-(1 + \sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2$

Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang nilai x mendekati tak berhingga (∞), sehingga jika disubstitusikan fungsi menghasilkan nilai tak tentu. Dalam pengoperasian limitnya, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika n adalah bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

No	TEOREMA	SYARAT
1	$\lim \limits_{x\to \infty}k = k$	k adalah konstanta
2	$\lim \limits_{x\to \infty}x^n = \infty$
2	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^n} = 0$
3	$\lim \limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^n} = \infty$	Jika n = genap
3	$\lim \limits_{x\to - \infty}\frac{1}{x^n}= - \infty$	Jika n = ganjil
4	$\lim \limits_{x\to \infty}k \cdot f(x) = k \cdot \lim \limits_{x\to \infty}f(x)$	k adalah konstanta
5	$\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) + g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$ $\lim \limits_{x\to \infty}{f(x) + g(x)} = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$
6	$\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) - g(x)})$ $= \lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$
7	$\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty}f(x) \cdot \lim \limits_{x\to \infty} g(x)$
8	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}$
9	$\lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim \limits_{x\to c} f(x))^n$
10	$\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim \limits_{x\to c}f(x)}$
11	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = \infty$	$\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = 0$
11	$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = 0$	$\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = \infty$

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:
Membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ . Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xn berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan $x\to \infty$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x^2+2} = \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$

Mengalikan bentuk sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$ . Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:

$\frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x \to \infty}g(x)}$

kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:

$\lim \limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x - 5 - \sqrt{x^2 -x -2}})$

$=\lim \limits_{n\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x -5 - \sqrt{x^2 - x - 2}})$ $x \frac{(\sqrt{x^2+4x-5 + \sqrt{x^2 - x - 2}})}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$

$= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}frac{5x-3}{(\sqrt{x^2+4x-5})+\sqrt{x^2-x-2}}$

Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x1:

$\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\frac{5x}{x}-\frac{3}{x}}{(\sqrt{\frac{x^2+4x-5}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2}})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{5-\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}+ \sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}})}$

$= \frac{(-0}{(1+1)} = \frac{5}{2}$

Alyssa Maharani (6) XI IPS 2

Monday, 11 January 2021

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

Konsep Limit Fungsi Aljabar

No comments:

Post a Comment

Pendapat Pembelajaran Secara Daring