SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

 

Sifat-Sifat Limit Fungsi dan Contohnya

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c
2. lim _x →a  xⁿ = aⁿ
3. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
4. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)
5. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
6. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
7. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
8. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

1. Contoh sifat lim _x →a c = c

Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :

lim _x →2 7 = 7

Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :

lim _x →2 x³ = 2³

lim _x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)

lim _x →2 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x)), maka :

lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶

lim _x →2²√x⁴ = 4

Ada tiga cara menentukan limit fungsi aljabar, diantaranya adalah :

1. Manantukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi
2. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran
3. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengkalikan Faktor Sekawan

1. Manantukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi

Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Untuk memperoleh nilai limitnya, teman-teman dapat mensubstitusikannya secara langsung kedalam fungsi tersebut.

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan nilai lim _x →2 (2x - 7) !!!!

Jawab :

Untuk menjawab soal di atas kita dapat menggunakan cara substitusi x → 2 dengan cara memasukan 2 ke dalam x, Maka :

lim _x →2 (2x - 7) = 2(2) - 7

lim _x →2 (2x - 7) = 4 - 7

lim _x →2 (2x - 7) = -3

Jadi nilai dari lim _x →2 (2x - 7) adalah -3

2. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran

Cara pemfaktoran ini dilakukan jika nilai limit dari satu fungsi bernilai tidak terdefinisi, misalkan 0/0 dan yang lainnya. Untuk proses pemfaktorannya sama seperti proses faktorisasi bentuk aljabar,

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan nilai lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) !!

Jawab :

Untuk menjawab soal seperti ini kita harus memfaktorkan dahulu karena jika langsung melakukan substitusi hasilnya akan tidak terdefinisikan. Maka :

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = ((x - 4)(x + 4))/(x - 4), karena (x - 4) bisa dieliminasi atau dicoret maka hasilnya :

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = x + 4

Setelah dilakukan pemfaktoran dan kemudian lebih disederhanakan lagi, maka selanjutnya kita tinggal substitusikan 4 kedalam x. Maka :

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = 4 + 4

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = 8

Jadi nilai dari lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) adalah 8.

3. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengkalikan Faktor Sekawan

Cara menentukan nilai limit dengan cara mengalikan faktor sekawan ini digunakan jika nilai yang akan ditentukan limitnya berbentuk bilangan pecahan yang memiliki bilangan bentuk akar misalkan √2 - √3. Maka pada intinya mengalikan faktor sekawan ini adalah menghilangkan bentuk akar. Jadi proses pengkaliannya adalah kalikan bilangan akar dengan bilangan akar yang ada sehingga bilangan akarnya akan berubah bentuk menjadi bilangan bukan bentuk akar. Wajib diingat bahwa cara ini hanya digunakan pada bentuk pecahan yang memiliki bentuk akar saja dan apabila nilai yang akan menjadi pengali faktor sekawan ada yang bernilai negatif maka harus diubah menjadi positif.

Misalkan :

√x - a diubah menjadi √x + a 

√x - √a diubah menjadi √x + √a
√x - √(a - b) diubah menjadi √x + √(a - b)

Satu lagi perlu dingat bahwa pengalinya harus bernilai 1 atau jika a yang akan menjadi pengali maka pengalinya harus a/a.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :

Contoh :

Tentukan nilai lim _x →1 (√x - √(2x -1))/( x -1 ) !!!!!

Jawab :

Untuk menjawab soal seperti ini pertama lihat dulu ada di sebelah mana kah yang ada bilangan akarnya, apakah di sebelah penyebut atau di sebelah pembilang. Nah pada soal diatas ternyata bilangan akarnya ada disebelah pembilang, maka kita akan mengkalikan pembilang (√x - √(2x -1)) dengan (√x - √(2x -1))/( x -1 ), namun penyebut yang akan digunakan sebagai pengali harus diubah dulu jika ada bilangan negativenya menjadi bilangan positive, Maka :

(√x - √(2x -1)) diubah menjadi (√x + √(2x -1))

Maka sekarang kalikan (√x + √(2x -1)) dalam bentuk pecahan yang bernilai satu atau artinya (√x + √(2x -1))/(√x + √(2x -1)) dengan (√x - √(2x -1))/( x -1 ). Maka :